Funciones Homogeneas

Definicion

f(x,y) es una funcion homogenea de grado n

Si f(tx,ty) = tⁿ f(x,y)

Ejemplo 1

La funcion f(x,y) = x - 3(xy)1/2 + 5y  es homogenea?

f(tx,ty) = tx - 3(txty)1/2 + 5ty

f(tx,ty) = tx - 3(t2xy)1/2 + 5ty

f(tx,ty) = tx - 3t(xy)1/2 + 5ty

f(tx,ty) = t(x - 3(xy)1/2 + 5y)

f(tx,ty) = t1(x - 3(xy)1/2 + 5y)

f(tx,ty) = t1f(x,y)

f(x,y) = x - 3(xy)1/2 + 5y es homogenea de grado 1

Ejemplo 2

La funcion f(x,y) = x2 + y2 + 1  es homogenea?

f(tx,ty) = t2x2 + t2y2 + 1

no se puede expresar asi

f(tx,ty) = t2 f(x,y)

por lo tanto no es homogenea

Problema de Valores Iniciales o Problema de Cauchy

Recuerdo que llegue a clase y el profesor dijo:

El tema que vamos a estudiar es Problema de Valores Iniciales o Problema de Cauchy

inmediatamente mi cerebro se bloqueo, 5 minutos despues ya estaba resolviendo ejercicios.

Este tema es muy sencillo n_n

Empecemos con un ejercicio

Resolver el siguiente problema de valores iniciales
dY       X
--- = - ---   con la condicion Y(4) = -3
dx       Y

Primer Paso

Resolver la Ecuacion Diferencial

dY       X
--- = - ---
dx       Y


Esta Ecuacion es Separable

Ya sabemos resolver Ecuaciones Separables

  dY    
Y -- = - X
  dx       

   dY    
-Y -- = X
   dx

La solucion es Y = p(X)

Reemplazando tenemos:

-p(X) p'(X) = X

Integramos

∫-p(X) p'(X)dx = ∫Xdx

con dY = p'(X)dx tenemos:

∫-p(X) dY = ∫Xdx

∫-Y dY = ∫Xdx

   Y2         X2
- --- + C1 = --- + C2
   2          2

   Y2    X2
- --- = --- + C2 - C1
   2     2

- Y2 = X2 + 2(C2 - C1)

0 = X2 + Y2 + 2(C2 - C1)

con C = 2(C2 - C1) tenemos:

0 = X2 + Y2 + C

X2 + Y2 = -C

Las constantes se manejan a conveniencia, por lo tanto
con C2 = -C tenemos:

X2 + Y2 = C2
Esta es la ecuacion de la circunferencia


En las Ecuaciones Diferenciales hay 2 tipos de soluciones: la explicita y la implicita

La solucion implicita es:

X2 + Y2 = C2

La solucion explicita es:

X2 + Y2 = C2

Y2 = C2 - X2
       _________
Y = ± / C2 - X2

Ya resolvimos la Ecuacion Diferencial

Segundo Paso
La condicion

Y(4) = -3
Esta condicion dice:

X = 4
Y = -3

por lo tanto:
                                                                                            _________
X2 + Y2 = C2                 Y =  ± / C2 - X2
                                    _________
42 + (-3)2 = C2             -3 =  ± / C2 - 42
                                    _________
16 + 9 = C2                 -3 =  - / C2 - 42
                                    _________
25 = C2                      3 =   / C2 - 42
                                    _________
C = 5                        3 =   / 52 - 42
                                    _________
                             3 =   / 25 - 16
                                    _________
                             3 =   /   9

                             3 = 3

                             por lo tanto C = 5

Tercer Paso
Soluciones finales

Soluciones:
X2 + Y2 = C2

       _________
Y = - / C2 - X2

Con
C = 5
Tenemos:

X2 + Y2 = 25

       _________
Y = - / 25 - X2

Ya acabamos, si vez un error o no entiendes algo dimelo por favor
Nos vemos

Ecuaciones Diferenciales Variables Separables

Una Ecuacion Diferencial de primer orden(primera derivada) de la forma:

dy 
--- = g(X)h(Y)
dx

Se llama Separable


La siguiente tabla muestra 2 Ecuaciones Diferenciales, una separable y una no separable

Separable	No separable
dy --- = Y2Xe3x+4y dx dy --- = Y2Xe3xe4y dx dy --- = Xe3xY2e4y dx con g(X) = Xe3x h(Y) = Y2e4y tenemos dy --- = g(X)h(Y) dx	dy --- = Y + sen X dx Y + sen X No se puede expresar como g(X)h(Y)

Ok, ya sabemos identificar una Ecuacion Diferencial Separable, ahora hay que aprender a Resolverlas y para ello vamos a ver un ejemplo

Ejemplo: Resolver la siguiente Ecuacion Diferencial
(1+X)dy - Ydx = 0

Primer Paso
¿La Ecuacion es separable?

(1+X)dy - Ydx = 0


(1+X)dy = Ydx


dy    dx
--- = ---
 Y    1+X


dy    Y
--- = ---
dx    1+X


con
g(X) = 1 / (1 + X)
h(Y) = Y
tenemos

dy
--- = g(X)h(Y)
dx
Como vemos se trata de una
Ecuacion Diferencial Separable

Segundo Paso
Despejar a g(X)

dy
--- = g(X)h(Y)
dx


1    dy
---  --- = g(X)
h(Y) dx

La Ecuacion original se ve asi

1   dy     1
--- --- = ---
Y   dx    1+X

Tercer Paso

Y = p(X) es la solucion

Posiblemente pienses "Y = p(X) es la solucion, eso fue todo?"

Si eso fue todo, solo falta la comprobacion


Cuarto Paso(comprobacion)

Como ya sabemos

Y = p(X) es la solucion

De Calculo Diferencial sabemos que dY = p'(X)dx

Comprobacion:

1    dy
---  --- = g(X)
h(Y) dx

La Ecuacion original se ve asi

1   dy     1
--- --- = ---
Y   dx    1+X

Reemplazando la solucion Y = p(X) tenemos:

1             1
---  p'(X) = ---
p(X)         1+X


p'(X)    1
---   = ---
p(X)    1+X


La comprobacion aqui termina

Pero veamos quien es Y = p(X)


   p'(X)        1
∫ --- dx  = ∫--- dx
   p(X)        1+X


   p'(X) dx       dx
∫ ------    = ∫ ---
   p(X)           1+X


con
Y = p(X)
dY = p'(X)dx
tenemos:


   dy          dx
∫ ---    = ∫ ---
    Y          1+X


ln |Y| = ln |1 + X| + C


eln |Y| = eln |1 + X| + C


Y = eln |1 + X|eC


Y = |1 + X|eC


con
C = eC
tenemos:


Y = |1 + X|C

Y = p(X) = |1 + X|C

Como ultimo comentario: Y = p(X) = |1 + X|C conviene escribirlo asi Y = |1 + X|C

Ya terminamos, si vez algun error por favor dimelo
nos vemos

Que es una Ecuacion Diferencial Lineal Ordinaria

Una Ecuacion Diferencial Ordinaria es Lineal, si cumple con esto:

• La variable dependiente Y y las derivadas Y ', Y '', ..., Y ⁽ⁿ⁾ deben ser de primer grado, en otras palabras de potencia 1
• No deben aparecer productos de este tipo: YY, YY ', YY '', ..., YY ⁽ⁿ⁾

Nota: Una Ecuacion que no es lineal se llama No lineal


A continuacion unos ejemplos
Lineales

Y'' - 2Y' + Y = 0

X3Y''' - X2Y'' + 3XY' + 5Y = ex

No Lineales

YY'' - 2Y' = X

Y''' + Y2 = 0

Ya acabamos, si vez algun error por favor dimelo y si tienes alguna duda tambien n_n

Orden de una Ecuacion Diferencial Ordinaria

Primero veamos una derivada super hiper mega sencilla

sea f(x) = 6X⁴

La primera derivada o tambien llamada derivada de primer orden es:

f '(x) = 24X³

La segunda derivada o tambien llamada derivada de segundo orden es:

f ''(x) = 72X²

La tercera derivada o tambien llamada derivada de tercer orden es:

f '''(x) = 144X

La cuarta derivada o tambien llamada derivada de cuarto orden es:

f ^iv(x) = 144

La quinta derivada o tambien llamada derivada de quinto orden es:

f ^v(x) = 0

Ahora veamos lo que nos interesa

La derivada de mas alto orden, establece el orden de la Ecuacion Diferencial

Veamos unos ejemplos para que quede mas claro

X²Y'' + XY' + 2Y = sen X
Ecuacion Diferencial de segundo orden

Y ^iv + Y''' + Y'' + Y' + Y = 1
Ecuacion Diferencial de cuarto orden

Y' + XY² = 0
Ecuacion Diferencial de primer orden

Ya terminamos n_n, comentanos si viste un error o si tienes una duda

Que es una Ecuacion Diferencial Ordinaria

Para empezar, veamos unas ecuaciones que ya conocemos
Por ejemplo:

2X = 4
X = 4/2
X = 2

O esta otra:

X2 + 2X + 1 = 0
(X + 1)2 = 0
X = -1

Una Ecuacion Diferencial es casi lo mismo, solo que ahora incluye derivadas
Un ejemplo seria este:

Y' = Y

Aqui tenemos otra:

Y'' + 4Y = 0

Para resolver una Ecuacion Diferencial hay Formulas, pero antes tenemos que saber unas cosas mas

Primera

Hay dos tipos de Ecuaciones Diferenciales: Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Paricales

Aqui veremos las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Segunda

Para esto resolveremos una Ecuacion Diferencial super hiper mega sencilla

Y' = cos X

Para resolver esta ecuacion, solo tenemos que integrar en ambos lados

∫Y' = ∫cos X dx
Y = sen (X) + C (esta es la solucion)

La Ecuacion Diferencial Y' = cos X dice:
"Encuentra una funcion Y tal que su derivada sea cos X"
esa funcion es Y = sen (X) + C

En las ecuaciones que ya conocemos la solucion es un numero
En las Ecuaciones Diferenciales la solucion es una funcion

Tercera

El Orden
El tema de Orden lo hemos puesto en otra pagina, solo da clic en el enlace.

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Tal vez te parezca mucho contenido, pero lo importante a recordar es que la solucion de una Ecuacion Diferencial es una funcion